1.2. Configuraciones predefinidas
Fichero de información de la calibración
Valores ajustados y precisiones
Importancia de cada parámetro de distorsión
Coordenadas medidas --> fotocoordenadas
Longitud focal y punto principal
2.1. Guardar y abrir configuraciones
3.3. Dependencias entre parámetros
Paso de coordenadas medidas a fotocoordenadas
Al abrir Calibración aparece la ventana del programa. En el espacio para indicar el fichero de fotograma
hay a la derecha un botón: . Pinche en ese botón y seleccione el fichero
imagen_px.ftm, dentro de la carpeta Ejemplo_Calibracion. Haga lo mismo para el fichero de apoyo y seleccione
coordenadas.prm. Arriba a la derecha, donde el texto «Fotocoordenadas», se puede desplegar una lista con varias
opciones. Seleccione la configuración «Píxeles / mm». Al momento el programa pide el tamaño de píxel:
Escribimos 0,0078. Tras aceptar vemos que se ha seleccionado ,
que estaba sin seleccionar. Ya está todo listo y solamente hay que presionar el botón
.
Se generan varios ficheros de resultados y un gráfico, que se pueden ver pinchando en los botones central y derecho
de la parte superior: .
Son las que se ofrecen en la lista desplegable de arriba a la izquierda. En este ejemplo se cambió la configuración por defecto «Fotocoordenadas» a «Píxeles / mm». La primera se emplea cuando el fichero de fotograma tiene las coordenadas en milímetros o micras; es decir, cuando ya se ha efectuado la transformación de píxeles a fotocoordenadas. La segunda y las que le siguen en la lista son las que se usan cuando las coordenadas de los puntos del fichero de fotogramas están en píxeles. En este caso hay que efecturar una primera transformación para pasarlas a fotocoordenadas, aunque sólo sea para cambiar la orientación del eje y. También se emplea esta transformación, si así se desea, para cambiar de unidades y pasar de píxeles a milímetros, micras, pulgadas o lo que se quiera. Es por esto que el programa pregunta el tamaño del píxel cuando se selecciona la configuración «Píxeles / mm» o «Píxeles / micras».
Calibración no conoce las unidades que emplea el usuario. Simplemente supone que todo está en las mismas unidades. Existen tres sistemas de unidades: el sistema de medida (normalmente píxeles), el de las fotocoordenadas y el sistema terreno. Todas las magnitudes en cada uno de los sistemas deben estar en las mismas unidades. Los tres sistemas son independientes entre sí.
Por ejemplo, si el sistema de unidades de las fotocoordenadas son los milímetros, estará en milímetros el valor deducido por el programa para la semidiagonal así como los valores de focal y distorsiones calculados.
El sistema de medida y el de las fotocoordenadas están en una relación que ha de ser conocida, y es el valor que se indica en la casilla «Escala» dentro de la sección «Coordenadas medidas --> fotocoordenadas». La posición del punto principal puede calcularse bien en las unidades de medida, bien en las unidades de las fotocoordenadas. Para lo primero se selecciona para el cálculo los valores «Traslación x» y «Traslación y» dentro de la sección «Coordenadas medidas --> fotocoordenadas», mientras que los valores de «Punto principal», x y «Punto principal», y, dentro de «Longitud focal y punto principal», se dejan sin seleccionar y con valor conocido 0. Esta es la opción por defecto del programa en los modos en los que las medidas son píxeles («Píxeles / mm», «Píxeles / micras» y «Píxeles / Píxeles»). Para lo segundo se seleccionan estos cuatro parámetros exactamente de la manera opuesta.
El tamaño del píxel no es algo calibrable. Se escoge a voluntad, y según el valor especificado así serán las unidades de los resultados (las del sistema de fotocoordenadas). Si por ejemplo en el cálculo anterior hubiésemos escrito un valor de 7,8, el resultado de la calibración se habría obtenido en micras.
Cuando las medidas para la calibración las efectúa un programa y es este quien genera los ficheros, es habitual que ya aplique una transformación de coordenadas medidas a fotocoordenadas, dando lugar a ficheros en milímetros o en micras en vez de píxeles. En estos casos se empleará el modo «Fotocoordenadas», que es el que tiene el programa por defecto al abrirse. En este modo no existe transformación de coordenadas medidas a fotocoordenadas y en la calibración solamente intervienen dos sitemas de coordenadas (fotocoordenadas y apoyo) en lugar de tres.
Si las medidas son píxeles habrá que seleccionar la transformación «Coordenadas medidas --> fotocoordenadas».
El programa supone por defecto que la coordenada y crece hacia abajo: ;
también supone que los píxeles miden lo mismo (aproxiadamente) en horizontal y en vertical:
.
Si no fuese así y por ejemplo los píxeles miden el doble en x que en y se indicará así:
.
Si para las coordenadas terreno se emplean metros, las coordenadas calculadas para el centro de toma serán metros.
Hay un cuarto sistema de unidades: el de los ángulos. Éste sí es necesario que lo conozca el programa. Se selecciona en el menú «Configuración»:
La única diferencia entre las configuraciones «Píxeles / mm» y «Píxeles / micras» es el símbolo de las unidades del sistema fiducial.
Todo lo que haya antes de la marca «-ff» que indica el comienzo del fotograma es ignorado. Por lo tanto se puede escribir cualquier información que se desee. Los nombres de fotogramas y puntos son cadenas literales que pueden contener letras y números. El formato es libre, siempre que se mantenga el orden de los campos.
Las marcas indican si el punto se incluye en el cálculo o no. De esta manera se pueden eliminar puntos del cálculo sin necesidad de eliminarlos del fichero. Si el fotograma está marcado con un 0, y por tanto eliminado, el programa sigue leyendo el fichero hasta encontrar un fotograma marcado con 1, que es el que se calibrará.
Las marcas no son obligatorias pero tienen que estar bien todas presentes, bien todas ausentes. Es decir, el fichero puede ser marcado o sin marcar, pero no una mezcla de ambos.
Los puntos tienen que tener siempre las dos coordenadas. Si una sola de las dos está eliminada el punto entero se excluye del cálculo.
-ff 9052 153.668 1 |
Fotograma normal |
-ff 9051 153.668 0 |
Fotograma eliminado |
4143 69.09 13.079 11 |
Punto normal |
4153 81.786 -66.747 01 |
Punto eliminado |
5131 10.567 28.589 10 |
Punto eliminado |
5141 -12.154 -100.7 00 |
Punto eliminado |
Si se utilizan como datos de entrada ficheros sin marcar o de PATB se genera automáticamente el correspondiente fichero marcado.
Los ficheros pueden estar marcados de dos formas distintas. Marcado prm:
Los puntos marcados con un 0 no se calculan.
Y marcado pym:
Las extensiones no son obligatorias, pero es más cómodo emplearlas porque así
el programa reconoce los ficheros cuando los seleccionamos con el botón .
Ficheros de fotogramas sin marcar: .fot marcados: .ftm PATB: .f Ficheros de apoyo sin marcar: .apr, .apy marcados prm: .prm, .ajs marcados pym: .pym
Si quiere utilizar un fichero con una extensión distinta, tras presionar el botón
debe elegir «todos los ficheros (*.*)». A continuación
especificará manualmente el tipo de fichero de que se trata, pinchando con el ratón
en el espacio en el que se muestra esa información y seleccionando el formato que desee:
![]() |
![]() |
El formato «Aerotri» en el fichero de fotograma incluye los ficheros de fotograma marcados y sin marcar.
El programa Calibración genera varios ficheros de resultados. El más importante de ellos es el fichero de información, con extensión .inf, cuyo contenido se encuentra resumido en la hoja resumen en pdf. Se crea también un fichero de gráfico, .gra, y uno de orientación interna, .int, que es el que se indicará para Digi u otros programas.
En primer lugar aparece una cabecera con el nombre de los ficheros de entrada y el número de puntos. A continuación se muestra la configuración, que consta de todos los parámetros que definen el ajuste. Cuando un parámetro a calcular aparece seguido de un valor, éste es el valor aproximado indicado en la ventana del programa (o para la focal, en el fichero).
/------------------------------------------------------------\ | CONFIGURACIÓN | \------------------------------------------------------------/ **Valores Conocidos Coordenadas medidas --> Fotocoordenadas giro 0 esc 0.0078 mm/px esc x/y 1 delta 0 Orientación interna xp 0 yp 0 **Parámetros a calcular y valores aproximados Coordenadas medidas --> Fotocoordenadas Tx Ty Orientación externa X Y Z W 0 PHI 0 K Orientación interna f Función de distorsión Calculada para un valor máximo de r de 12.5 mm (semidiagonal) Modelo polinomico: completo s=r/12.5 cosA=x/r , sinA=y/r Simétrica, radial: Dr= a2(3s^2-2s) + a3(9s^3-11.4s^2+3.4s) + a4(29.2s^4 -53.1s^3 +30.1s^2 -5.2s) Condición: Ortogonalidad Simétrica, tangencial: Dt= b2(3s^2-2s) + b3(9s^3-11.4s^2+3.4s) Distorsiones asimétricas. Modelo: radial / tangencial Dr= c3(4s^3-3s^2)cosA + c4(4s^3-3s^2)senA + c5·s·cos2A + c6·s·sen2A Dt= d1·s^2·cosA + d2·s^2·senA + d5·s·cos2A + d6·s·sen2A
Tras la configuración aparecen los valores ajustados y sus precisiones para todos los parámetros calculados. Para cada parámetros de distorsión se indica también un valor de importancia, que es la distorsión media cuadrática en el fotograma debida a ese parámetro.
Para función de distorsión se muestran las fórmulas en función de s, que es el valor de r dividido entre su máximo valor posible. Este valor lo calcula el programa y se refiere a él como la semidiagonal del fotograma. Para los datos de ejemplo es 12.5mm. s varía por lo tanto de 0 a 1.
Siguiendo a los valores ajustados se muestran los residuos, y la desviación típica estimada a posteriori en las unidades del sistema de medida. Si no hay transformación entre coordenadas medidas y fotocoordeanadas coincide con el sistema de estas últimas.
Ese fichero contiene todos los parámetros calculados en un formato que posteriormente puede leer Digi si se instala el plug-in CamaraCalibra. Un ejemplo completo es el siguiente:
\begin Info minx -23.693 maxx 23.646 miny -13.566 maxy 12.689 \end \begin Orientacion interna media f 19.38626 xp 0 yp 0 \end \begin Coordenadas medidas --> fotocoordenadas Tx 1491 Ty 1007 a 0.007800 b 0.000000 c 0.000000 d 0.007800 \end \begin Funcion de distorsion semidiag 12.5 Modelo polinomico Completo Modelo asimetrico rad/tan \begin Radial simetrica a2 -0.211513 a3 -0.0282136 a4 0.0191263 \end \begin Tangencial simetrica b2 -0.000305508 b3 0.000763013 \end \begin Asimetrica serie1 c5 -0.000716259 c6 -0.000744935 \end \begin Asimetrica serie2 d1 0.00213269 d2 0.000487395 d5 -0.000347419 d6 0.000841181 \end \end Funcion de distorsion
Los términos de la distorsión correspondientes a cada parámetro aparecen descritos en Formulación de cada modelo, así como en las ventanas explicativas de cada conjunto de parámetros. La transformación de coordenadas medidas a fotocoordenadas es lo primero que se aplica. Los parámetros Tx,Ty,a,b,c,d son los de una transformación afín:
La relación entre los parámetros a,b,c,d y los que el usuario puede seleccionar en la ventana del programa es una cuestión técnica que se explica al final de este manual.
Contiene una representación de las distorsiones y los residuos, ambos en el sistema fiducial (de fotocoordenadas). La distorsión se muetran en forma de segmentos para un conjunto de puntos formando una cuadrícula. Se puede elegir el número de puntos de cada lado de la cuadrícula en Configuración--> Información de salida--> Gráfico.
Una calibración/orientación consiste en el cálculo de un conjunto de parámetros seleccionados de entre todos los posibles. Los parámetros se agrupan en tres conjuntos: coordenadas medidas --> fotocoordenadas, orientación externa y orientación interna o geometría de la imagen. Este último grupo incluye los parámetros de distorsión.
El primer conjunto de parámetros se interpreta de manera distinta según se trate de fotografía digital o de fotografía analógica escaneada.
Son los parámetros que pasan del sistema de medida (sistema comparador o coordenadas píxel) al sistema fiducial. Si la fotografía fue escaneada el sistema de medida es el escáner, que asigna coordenadas píxel (x,y) a cada punto. En este caso se emplearán cuando se quiera calibrar el escáner en lugar de la cámara.
Los parámetros son los correspondientes a una transformación afín. Si el aparato de medida fuese perfecto sólo deberían existir los tres primeros, que se corresponden a un movimiento y parametrizan la posición de los ejes de medida respecto al sistema fiducial. Los tres últimos por lo tanto son distorsiones.
Aunque se tengan imágenes digitales hay que tener en cuenta que es posible que el software de medida haya aplicado ya una transformación de este tipo, proporcionando ficheros con coordenadas en milímetros o micras (o alguna otra unidad) como si de fotografía analógica se tratase. En este caso no se seleccionará ninguno de estos parámetros, pues estaríamos aplicando dos veces una transformación de coordenadas medidas a fotocoordenadas.
Si por el contrario se trata directamente de una imagen digital, lo más común es emplear esta transformación para transformar de píxeles a milímetros o micras y situar el origen del sistema de coordenadas en el punto principal:
La «Relación pixel x/y» es 1/1 si el píxel es cuadrado, 2/1 si mide el doble en x que en y, 1/2 si mide el doble en y que en x, etc. El parámetro «escalas x/y» es la pequeña desviación en la escala x/y en relación a la que debería ser, y es siempre un valor próximo a 1. El ángulo entre ejes es la diferencia a 90º del ángulo que forman, y es positivo si los sentidos positivos de los ejes forman menos de 90º. La formula exacta que define los parámetros se encuentra en aspectos técnicos.
Cuando el píxel no es cuadrado se debe indicar como tamaño del pixel, en «escala», lo que mide el píxel en y. Por ejemplo, si el píxel mide 6 micras en horizontal y 3 en vertical, se indicará 3 en «escala» y 2/1 en «Relación pixel x/y».
No se deben indicar muchos decimales en el tamaño del píxel porque como se explica en sistemas de unidades el tamaño del píxel no es algo calibrable y es más importante emplear un valor sencillo que un valor «exacto», que en cualquier caso es convencional.
Son los seis parámetros de orientación externa de una cámara.
En el ejemplo que se muestra aquí el punto principal no se encuentra entre los parámetros a calibrar porque ya se seleccionó «Traslación x» y «Traslación y» en el primer conjunto de parámetros. Supongamos sin embargo que la matriz de píxeles mide 4000x3000 píxeles y que queremos la situación del punto principal en las unidades de las fotocoordenadas (p. ej., milímetros) respecto al centro de la matriz. En ese caso los valores «Traslación x» y «Traslación y» dentro de «Coord. medidas --> fotocoordenadas» no los seleccionaríamos para su cálculo pero indicaríamos como valores conocidos 2000 y 1500 respectivamente (esta es la transformación que suelen aplicar los programas de medida), mientras que los dos parámetros del punto principal en esta ventana sí los seleccionaríamos. De esta manera estaríamos indicando que el origen del sistema de fotocoordenadas se encuentra en el punto (2000,1500) del sistema de medida, y que para pasar de este a aquel hay que aplicar, tras la traslación, un factor de escala igual al valor que hayamos escrito en «Escala», por ejemplo 0,005. Si el valor que se obtuviese para el punto principal en el cálculo fuese de por ejemplo (0,052,-0,009), esto querría decir que la situación del punto principal en el sistema de las fotocoordenadas se encontraría en el punto (0,052,-0,009).
En definitiva, el orden de aplicación de las traslaciones y el factor de escala desde el sistema de medida hasta llegar al punto prinipal es el siguiente:
Traslaciones x,y, Escala, Punto principal x,y
El paso «Escala» incluye el cambio de signo de la coordenada y.
Se recomienda que la condición para definir la distorsión radial simétrica y la focal sea la de Ortogonalidad. Sobre esta condición, véase Dependencias entre parámetros.
Si un parámetro se selecciona para su ajuste puede opcionalmente indicarse un valor aproximado. En los parámetros Ω y Φ es obligatorio el valor aproximado inicial. También en la focal, pero en este caso si no se indica ningún número el valor se toma del fichero. En el fichero el valor de la focal debe expresarse en unidades del sistema de medida (las unidades en las que estén en ese fichero las coordenadas de los puntos medidos) mientras que si se indica en la ventana del programa ha de ser en las unidades de las fotocoordenadas.
Por el contrario, si un parámetro no se va a calcular entonces ha de tener un valor conocido, como es lógico. En muchas ocasiones queremos que un parámetro «no exista», lo que equivale a que es conocido y su valor es 0 (ó 1). Por ejemplo, en la configuración por defecto todos los parámetros de paso del sistema de medida al sistema fiducial son conocidos y valen 0 ó 1 según el caso, de manera que esa transformación no existe.
El color de las cajas de texto indica la imposibilidad, opcionalidad u obligatoriedad de especificar un valor.
![]() |
![]() |
![]() | ||
Obligatorio | Opcional | No permitido |
Cada parámetro de la ventana principal del programa tiene dos cajas de texto: la que corresponde al valor conocido, si es que el parámetro no se va a calcular, y la del valor inicial aproximado, en caso de que entre en el ajuste. En cada caso la otra caja de texto está bloqueada. Cuando el parámetro entra en el cálculo, en algunas ocasiones es obligatorio indicar un valor inicial y en la mayoría de los casos no.
El valor de la semidiagonal también es opcional indicarlo y suele dejarse que lo calcule el programa, pero si se desea emplear un valor concreto y no el que deduzca el programa se indica en la casilla correspondiente.
Las distorsiones se expresan en función de las coordenadas polares de los puntos: (θ,s), siendo s=r/rmax. El valor de rmax es la semidiagonal del fotograma.
La función de distorsión se descompone en radial simétrica, tangencial simétrica y dos series de distorsiones asimétricas.
La distorsión tangencial es un valor lineal t en la dirección perpendicular al radio, positiva si el punto de la imagen se desplaza en sentido antihorario respecto a su posición teórica.
La distorsión radial simétrica es, para cada distancia s, la distorsión radial media de los puntos (θ,s) para todos los valores de θ, y análogamente la distorsión tangencial.
La distorsión asimétrica es la distorsión total menos la componente simétrica.
Los modelos de Calibración se basan en funciones ortogonales, para que los parámetros sean independientes y cada uno de ellos adquiera un significado. El modelo polinómico por defecto del programa es el completo. Los polinomios del modelo impar tienen coeficientes más pequeños pero emplean potencias de s mayores.
Por lo que respecta a los dos modelos asimétricos que el programa da a elegir, no se recomienda ninguno en particular, y la experiencia dirá para cada cámara qué modelo se adapta mejor. En el modelo vector giratorio los parámetros c5 y c6, dentro de la serie 1, son los parámetros de una distorsión de afinidad: una diferencia de escalas entre los ejes y una falta de perpendicularidad entre ellos respectivamente.
Los parámetros de los dos modelos son en conjunto equivalentes, de manera que cada cuatro parámetros de una fila del modelo vector giratorio son, tomados en conjunto, equivalentes a los cuatro parámetros de la misma fila del modelo radial/tangencial. Así por ejemplo, el efecto de las cuatro distorsiones c5, c6, d5, d6, si se seleccinan todas ellas, es el mismo en los dos modelos.
Las fórmulas de cada uno de los modelos pueden verse pinchando en el texto que indica el número
de parámetros: , etc., estando seleccinado el modelo deseado, o bien en
aspectos técnicos.
Existen por supuesto otras maneras posibles de operar; la que a continuación se propone es una en concreto.
• Se miden las imágenes de los puntos de coordenadas conocidas, en píxeles. Se prepara el fichero de fotograma con las coordenadas en píxeles como se indica más arriba. En él la focal aproximada se indica en píxeles. La coordenada x debe aumentar hacia la derecha; la y hacia abajo.
• En la ventana del programa, arriba a la izquierda, se selecciona la configuración píxeles / mm y se escribe el tamaño de píxel, por ejemplo, 0,008 (8,0 si queremos los resultados en micras en lugar de en milímetros).
• Se calcula.
• Se mira si algún punto tiene un residuo tan grande que signifique que está mal medido. Los residuos se pueden ver numéricamente en el fichero de información y gráficamente en el gráfico. Dado que están en píxeles, un residuo muy grande puede ser, por ejemplo, un residuo de 5 px. Si existe un tal punto se elimina, marcándolo con 00 en el fichero de fotograma, y se vuelve a calcular. Si hay varios puntos con un error muy grande se pueden eliminar todos ellos, pero de un conjunto de varios puntos próximos con un error grande se debe eliminar úinicamente el de residuo mayor. Ante la duda, elimine de uno en uno. Se repite el proceso hasta que no queden errores groseros.
Los puntos eliminados se remiden y se vuelven a incluir en el cálculo. Si no existe posibilidad de remedida se dejarán eliminados.
• Se realizan a continuación distintas pruebas seleccionando o quitando parámetos de distorsión. La opción más habitual es añadir más parámetros, si se tienen miles de puntos, o dejar solamente los de la distorsión radial simétrica si hay menos de 50. Para ver si un parámetro es significativo hay que comparar en el fichero de información su valor ajustado con su desviación típica, que es la precisión con la que dicho valor quedó calculado. El primero tiene que ser al menos el doble de ésta.
• Un buen valor de desviación típica a posteriori para una calibración es en torno a 0,3 px.
Todas las opciones seleccionadas en la ventana del programa y todos los valores indicados, a excepción de los nombres de los ficheros, pueden guardarse en un fichero de configuración, en Archivo-->Guardar configuración, para posteriormente abrirlo.
El programa incluye cuatro configuraciones: Fotocoordenadas, Píxeles / mm, Píxeles / micras y Píxeles / píxeles. Las dos intermedias sólo se diferencian en el símbolo de las unidades del sistema fiducial, para los ficheros de salida.
El ajuste de la orientación/calibración se lleva a cabo mediante el método de mínimos cuadrados.
La matriz de rotación de un fotograma en función de los giros Ω, Φ y Κ es la siguiente:
Ésta es la matriz que pasa del sistema de fotocoordenadas al sistema de los puntos de apoyo. La que permite la transformación inversa, que se suele denotar por M, es la traspuesta.
En este esquema se indica el criterio de signo de los giros.
Entre todos los parámetros posibles existen algunos que son equivalentes, y por tanto no se pueden incluir simultáneamente en un cálculo. Existen varias parejas o grupos de parámetros equivalentes. Cuando se selecciona algún parámetro para el cálculo incompatible con alguno que ya estaba seleccionado el programa automáticamente elimina la selección de este último.
Los parámetros del paso de coordenadas medidas a fotocoordenadas (coord. fiduciales) son un conjunto alternativo, para calibrar el aparato de medida en lugar de la cámara o bien para desplazar ciertos parámetros a unidades píxel. Por lo tanto cada uno de ellos es equivalente a un parámetro de orientación.
Tx ----> Punto principal, x Ty ----> Punto principal, y giro ----> Orientación externa, K escala ----> focal
Los parámetros «escala x/y» y «ángulo entre ejes» son equivalentes a distorsiones asimétricas. Si el modelo de «otras distorsiones» es el vector giratorio, los parámetros son equivalentes respectivamente a c5 y c6. En caso contrario cada uno de ellos tiene relación con un parámetro de la distorsión radial asimétrica y otro análogo de la tangencial.
Si el giro es distinto de cero las correspondencias Tx<-->x y Ty<-->y se rompen. En estos casos (si es conocido y distinto de cero o si es desconocido), (x,y) del punto principal han de ser conocidas ambas o ninguna.
La focal es equivalente al primer término de la distorsión radial simétrica (en cualquier modelo, es siempre el mismo). Por lo tanto si se calcula la focal ese término desaparece de la distorsión radial. Ésta es la condición de ortogonalidad. Si se quiere que la función de distorsión cumpla alguna otra condición, una vez terminado el cálculo se modifica el primer término de la d.r.s. de manera que cumpla la condición y posteriormente se varía la focal en sentido contrario, de manera que ambas variaciones se anulen.
Al añadir un término a la distorsión su valor cuadrático medio aumenta (siempre), y por eso se recomienda emplear la condición de ortogonalidad.
Si están seleccionados Ω y Φ, cuya selección se hace de manera conjunta, entonces:
Si está seleccionada la x del punto principal (o su equivalente Tx) no se puede calcular el término s2cosθ de la d.r. asimétrica.
Si está seleccionada la y del punto principal (o su equivalente Ty) no se puede calcular el término s2senθ de la d.r. asimétrica.
El programa emplea para los parámetros «escalas x/y» y «ángulo entre ejes» de paso de coordenadas medidas
a fotocoordenadas unos parámetros iguales que los c5 y c6 del modelo vector giratorio de la distorsión asimétrica.
Sin embargo, tanto en la entrada como en la salida se toman como parámetros la relación de escalas entre los ejes
y la desviación de 90º del ángulo que forman. La relación entre ambas parejas es la siguiente:
De parámetros internos a parámetros de usuario:
De parámetros de usuario a parámetros internos:
Al igual que con las fórmulas de los modelos de distorsión, no es necesario conocerlas ya que el programa, además de los parámetros K y E, proporciona la matriz de paso de coordenadas medidas a fotocoordenadas.
El conocimiento de las fórmulas que se muestran a continuación no es necesario para aplicar los parámetros calculados, ya que el programa desarrolla los polinomios y agrupa términos, y muestra cada componente de la función de distorsión como un único polinomio.
Los polinomios se muestran en función de la variable s, que es el radio normalizado, e.d., dividido por su máximo valor posible = semidigonal. El fichero de salida lo indica explícitamente. Por ejemplo, s=r/160000.
Cada modelo polinómico consta de dos series de polinomios. La primera de ellas o serie p son las componentes de la distorsión simétrica, ya sea la radial o la tangencial, pues la fórmula es la misma para ambas. Se aplica también a ciertas componentes asimétricas: las pares. La segunda serie, serie q, se aplica a las componentes impares de la distorsión asimétrica.
Serie p:
Serie q:
Serie p:
Serie q:
Cada componente asimétrica es el producto de un polinomio, que depende de s (es decir, del radio), por una componente que solamente depende del ángulo θ. Los polinomios se toman del modelo polinómico seleccionado mientras que las componentes que dependen de θ las determina el modelo asimétrico.
En este modelo cada componente asimétrica tiene una dirección constante (tomando como referencia los radios) y va variando de módulo de manera periódica en función de θ. En la pimera serie la dirección es la radial mientras que en la segunda es la tangencial.
A continuación se muestran las primeras componentes para el modelo polinómico completo. Para el modelo impar no hay más que sustituir los polinomios que aquí se muestran por los de ese modelo.
Serie 1:
La serie 2 es igual que la 1 diferenciándose en la dirección de las componentes, que en aquélla es tangencial y en esta radial.
En este modelo cada componente asimétrica tiene un módulo fijo unidad y «va dando vueltas» según se varía θ. En la primera serie los vectores dan vueltas en el sentido contrario al crecimiento de θ, es decir, en sentido horario. En la segunda el sentido de giro es el opuesto. Dentro de cada serie, el papel que en el modelo anterior jugaban los pares sen/cos lo desempeñan aquí pares de vectores ortogonales u/v. Los vectores u son componentes que para θ=0 siguen la dirección radial, mientras que los vectores v siguen la dirección tangencial para esos mismos puntos.
Lo dicho en el párrafo anterior se aplica a todas las componentes excepto las cuatro primeras, dos de la serie 1 y dos de la serie 2. Estas cuatro se sustituyen por las primeras del modelo radial/tangencial, ya que debido a ciertas consideraciones teóricas es necesario que las componentes c1 y c2 de la distorsión radial asimétrica aparezcan de manera explícita en cualquier modelo.
Al igual que antes se emplea para mostrar las componentes los polinomios del modelo completo.
ucθ signifia: Vector de módulo unidad que en un punto de la fotografía con coordenadas (r,θ) forma un ángulo cθ con la dirección radial.
vcθ signifia: Vector de módulo unidad que en un punto de la fotografía con coordenadas (r,θ) forma un ángulo cθ con la dirección tangencial.
Serie 1:
Serie 2:
Serie p:
Serie q:
Serie p:
Serie q:
Las gráficas son muy parecidas para los modelos completo e impar. Para las que se muestran aquí se ha tomado la serie completa en el modelo radial/tangencial y la serie impar en el modelo vector giratorio.
c1, c2. Estas componentes no esistirán normalmente porque se anulan si se calibra el punto principal; d1, d2.
c3, c4; d3, d4.
c5, c6; d5, d6.
c7, c8; d7, d8.
c9, c10; d9, d10.
c11, c11; d12, d12.
c1, c2. Estas componentes no esistirán normalmente porque se anulan si se calibra el punto principal; d1, d2.
c3, c4; d3, d4.
c5, c6; d5, d6.
c7, c8; d7, d8.
c9, c10; d9, d10.
c11, c11; d12, d12.