MANUALE D'UTENTE

alibrazione

1.  CALCOLO DI CALIBRAZIONI

1.1. Cominciare con il programma

1.2. Sistemi di unità

Sigle delle unità

1.3. File di entrata

File di fotogramma

File di appoggio

Estensioni dei file

1.4. File d'uscita

File d'informazione della calibrazione

File di grafico

Configurazione

Valori compensati

Residui e deviazione standard

Precisioni

File d'interna

File di camera

1.5. Parametri da calcolare

Coordinate misurate --> coordinate immagine

Orientazione esterna

Geometria dell'immagine

Approssimato/Conosciuto

Colore delle textbox

1.6. Funzione di distorsione

Scomposizione

Diversi modelli

1.7. Modus operandi

2.  UTILITÀ

2.1. Salvare e aprire configurazioni

3.  ASPETTI TECNICI

3.1. Dipendenze tra parametri

Passaggio da coordinate misurate a coordinate immagine

Focale

Ω, Φ e il punto principale

3.2. Metodo di compensazione

3.3. Matrice di rotazione

3.4. Formulazione di ogni modello

Radiale simmetrica

Radiale asimmetrica / tangenziale

Affinità

3.5. Relazione tra i parametri α e β dell'affinità e il rapporto di scala fra assi e l'angolo che formano


1  CALCOLO DI CALIBRAZIONI

1.1. Cominciare con il programma

Al aprire Calibrazione appare la finestra del programma. A sopra e sinistra, dove il testo «Coordinate immagine», seleziona la configurazione «Pixel / mm». Nello spaccio per indicare il file di fotogramma c'è a destra un pulsante: . Premi questo pulsante e seleziona il file imagen_px.fot, nella cartella Ejemplo_Calibracion. Faccia lo stesso per il file di appoggio e seleziona coordenadas.prm.

Bisogna anche indicare il lato dei pixel e la semidiagonale della fotografia. Il lato dei pixel in millimetri è 0.0078. Escribi questo valore nel textbox dove si richiere. Il valore della semidiagonale per questa camera è 14.

Premi sul pulsante e aspetti che finisca il calcolo. Si creeranno qualche file di risultati e un file di grafico, che si può aprire con il visore di grafici di Aerotri.

1.2. Sistemi di unità

Calibrazione ignora le unità impiegate dall'utente. Semplicemente supporre che tutti è espresso nelle stesse unità. Ci sono tre sistemi di unità: quello delle misure (normalmente pixel), quello delle coordinate immagine e quello del terreno. Tutte le grandezze in ogni sistema deviano essere nelle stesse unità. I tre sistemi sono indipendente tra loro.

Per esempio, se il sistema di unità dell'immagine sono i millimetri, deve essere in millimetri il valore della semidiagonale,e saranno anche in millimetri tutti i valori della focale e le distorsioni calcolati calcolati dal programma.

Il sistema di misura e quello delle coordinate immagine siano in una relazione che deve essere conosciuta, ed è il valore indicato nel textbox che al aprire il programa mostra il testo «Lato dei pixel». La posizione del punto pricipale ci può calcolare sia nelle unità di misura, sià nelle unità delle coordinate immagine. Per il primo, scegli per il calcolo i valori «Traslazione x» e «Traslazione y» entro la sezione «Coordinate misurate --> coordinate immagine», e lascia senza selezionare i valor di Punto principale, x e Punto principale, y, a destra, e con un valore conosciuto 0. Questa è l'opzione per difetto del programma. Per il secondo, scegli questi quatri parametri esattamente in modo contrario.

Il lato del pixel non è cosa calibrabile. Si sceglie a volontà, e secondo il valore specificato cosí saranno le unità dei risultati (quelle del sistema di coordinate immagine). Se per esempio nel calcolo anteriore avessimo scritto un valore di 7,8, il risultato della calibrazione sarebbe stato ottenuto in micron. In questo caso dovremmo avere scrito anche il valor della semidiagonale della fotografia in micron, vale a dire, 14000.


¡Importante!  Il sistema di coordinate del fotogramma deve essere destrogiro. Se il sistema ha l'origine nell'angolo superiore sinistro, con la coordinata x aumentando verso la destra, e la coordinata y verso giù, dunque non è destrogiro, e bisogna permutare il segno a tutti i valori di una delle due coordinate.

Se per le coordinate terreno si impiegano metri, le coordinate calcolate per il centro di presa saranno metri.

C'è un quarto sistema di unità: quello degli angoli, che deve essere conosciuto dal programma. Si seleziona nel menu «Configurazione»:

Tutti i valori che fanno riferimento a grandezze angolari devono esprimersi nel sistema selezionato.

Simboli degli unità

Per i file di uscita, si possono indicare le sigle delle unità dei sistemi di misura, fiduciale e terreno; quindi, i numeri si mostraranno seguiti dalle sue unità. Per questo, clica in Configurazione--> Informazione d'uscita--> Simboli delle unità:

L'unica diferenza tra le configurazione per difetto Pixel / mm e Pixeles / micron è il simbolo delle unità del sistema fiduciale.

1.3. File di entrata

File di fotogramma

Tuto quello che avessi prima del primo fotogramma è ignorato. Per tanto si può scrivere l'informazione desiderata. I nomi di fotogrammi e punti sono catene letterali (string) che possono trattenere lettere e numeri. Il formato è libero, ogni volta che non si altere l'ordine dei campi.

I segni indicano se il punto entra nel calcolo o non. Di questa maniera si possono eliminare punti del calcolo senza eliminarli del file. Se il fotogramma è segnato con un 0, e dunque eliminato, il programma continua leggendo il file fino trovare un fotogramma segnato con 1, che è quello che si calibrerà.

A differenza del programma Aerotri, qui i punti devono avere sempre i due coordinate. Se una sola delle due è eliminata il punto intero si esclude del calcolo.


-ff      9052    153.668     1    
Fotogramma normale
-ff      9051    153.668     0    
Fotogramma eliminato
  
4143      69.09     13.079    11   
Punto normale
4153     81.786    -66.747    01   
Punto eliminato
5131     10.567     28.589    10   
Punto eliminato
5141    -12.154     -100.7    00   
Punto eliminato

Se si impiegano nell'entrata file senza segnare o di PATB si genererà automaticamente il corrispondente file segnato.

File di appoggio

I file possono essere segnati di due forme diverse. Segnato prm:

I punti segnati con un 0 non si calcoleranno.

E segnato pym:

Estensioni dei file

L'estensioni non sono obbligatorie, ma è più comodo impiegarle perché così il programma riconosce i file quando selezioniamo con il pulsante .

File di fotogrammi
    senza segnare: .fot
              segnati: .ftm
                 PATB: .f

File d'appoggio
    senza segnare: .apr, .apy
       segnati prm: .prm, .ajs
       segnati pym: .pym

Se vuoi usare un file con un'estensione diversa, dopo premere il pulsante deve scegliere «tutti i file (*.*)». A continuazione specificherà manualmente il tipo di file premendo con il mouse nello spaccio in quello si mostra questa informazione e selezionando il formato desiderato:


1.4. File d'uscita

Il programma Calibrazione genera qualche file di risultati. Il più importante di essi è il file d'informazione, con estensione .inf, che si trova riassumito nella foglia sommario in pdf. Si genera anche un file di grafico, .gra, più un file con l'orientazione interna, che può essere leto da Aerotri, ed un'altro di camera, .cam, per il Digi.

File d'informazione della calibrazione

In primo luogo appare un header con i nomi dei file d'entrata e il numero di punti. Di seguito si mostra la configurazione, che consiste di tutti i parametri che definono la compensazione. Quando un parametro a calcolare appare seguito da un valore, questo è il valore approssimato indicato nella finestra del programma (o per la focale, nel file).

CONFIGURAZIONE

**Valori Conosciuti

   Coordinate misurate --> Coordinate immagine

      giro      0
      esc       0.0078 mm/px
      esc x/y   1
      delta     0

   Orientazione interna

      xp       0
      yp       0


**Parametri da calcolare e valore approssimati

   Orientazione esterna

      X
      Y
      Z
      W       0
      PHI     0
      K

   Orientazione interna

      f

   Funzione di distorsione

      Calcolata per un valore massimo di r di 160 (semidiagonale)

                  s=r/160

       Radiale simmetrica: Modello completo compensato

         Dr= a2(3s^2-2s) + a3(9.1s^3-11.5s^2+3.4s)

         Condizione: Ortogonalità

       Altri distorsioni: Non

Dopo la configurazione si mostrano i valori compensati per tutti i parametri calcolati. Per la funzione di distorsione si indicano i valori dei parametri e si mostra la formula della distorsione in due maniera equivalenti: prima in funzione di s, e dopo in funzione di r. La variabile s è r divisa per il suo massimo valore possibile, che è lo specificato come semidiagonale del fotogramma nella finestra del programma. Dunque, s varia da 0 a 1.

Seguendo i valori compensati si mostrano i residui, e da ultimo le precisioni, cominciando per la deviazione standard stimata a posteriori.

File d'interna

Questo file contiene tutti i parametri calcolati in un formato adeguato per la sua posteriore lettura dal programma Aerotri. Il seguente è un esempio completo.

\begin Orientacion interna media

f      6000
xp     1337
yp    -1066

\end

\begin Coordenadas medidas --> fotocoordenadas

Tx    136.4
Ty    -163.1
a    0.999847
b    0.000416
c    0.000416
d    1.000153

\end

\begin Funcion de distorsion

semidiag    1500

\begin Radial simetrica
modelo    Completo compensado
a2    -1.67163
a3    -0.0793779
\end

\begin Radial asimetrica
modelo    Completo compensado
b3    1.30873
b4    -1.01843
\end

\begin Tangencial
modelo    Completo compensado
c2    3.19737
d1    2.46237
d2    -3.40982
c3    1.7795
d3    -2.1809
d4    -3.30759
\end

\end Funcion de distorsion

I termini della distorsione corrispondenti a ogni parametro apparono scritti in Formulazione di ogni modello, anche nelle finestra esplicativa d'ogni insieme di parametri. La trasformazione da coordinate misurata a coordinate immagine è lo primo ad applicare, anche prima della riduzione al punto principale. I parametri Tx,Ty,a,b,c,d sono quelli di una trasformazione affine:

File di camera

Contiene i risultati della calibrazione con il formato del file .cam del programma Digi. Solamente si possono includere la distorsione radiale simmetrica media, che in molti casi è l'unica calibrata. Qualsiasi altra distorsione che fossi calibrata si perderà nel file .cam.

File di grafico

Contiene una rappresentazione delle distorsini e dei residui. Entrambi grandezze si mostrano in modo di segmenti per un'insieme di punti che formano un reticolato. Si può scegliere il numero di punti di ogni lato del reticolato en Configurazione--> Informazione d'uscita--> Grafico. Deve essere un numero impare.

1.5. Parametri da calcolare

Una calibrazione/orientazione consiste nel calcolo d'un congiunto di parametri selezionati fra tutti i possibile. I parametri si raggruppano in tre insiemi: coordinate misurate --> coordinate immagine, orientazione esterna e orientazione interna o geometria dell'immagine. Questo ultimo insieme include tutti i parametri di distorsione.

Il primo insieme di parametri si interpreta di manera diversa secondo sià un'immagine digitale ovvero un'immagine analogica scandita.

Coordinate misurate --> coordinate immagine

Sono i parametri che passano dal sistema di misura (sistema comparatore o coordinate pixel) al sistema fiduciale. Se la fotografia fu scandita, il sistema di misura è lo scanner, che assegna coordinate pixel (x,y) a ogni punto. In questo caso questi parametri si impiegheranno quando si voglia calibrare quello apparato in posto della camera.

I parametri sono i corrispondenti ad una trasformazione affine. Se il apparato di misura fossi perfetto solo dovrebbero esistere i tre primi, che si corrispondono a un movimento e parametrizzano la posizione degli assi di misura rispetto al sistema fiduciale. Dunque, i tre ultimi sono distorsioni.

Se al contrario l'immagine è già un'immagine digitale, il più comune è impiegare questa trasformazione per trasformare da pixel a millimetri (o micron) e situare l'origine del sistema di coordinate nel punto principale.

Per ciò si indica come valore di scala il lato dei pixel e si seleziona per il calcolo i parametri di traslazione. Questi parametri si applicano prima del fattore di scala, e quindi saranno nelle unità del sistema di misura, cioè, pixel. Dopo applicare la traslazione le coordinate xy risultanti sono multiplicate dal valor indicato, e così si finisce di trasformare al sistema fiduciale: centrato nel punto principale e avendo per unità millimetri (o micre, oppure altro valore secondo sià il valore del lato dei pixel indicato).

Il parametro «scala x/y» è quello che misura una divisione (o un pixel) dell'assi x diviso per quello che misura la stessa divisione dell'assi y. L'angolo tra assi è la differenza a 90º dell'angolo che formano, ed è positivo se i sensi positivi degli assi formano meno di 90º. La formula esatta che define i parametri si trova in aspetti tecnici.

Quando il pixel non è quadro si deve indicare come valore conosciuto di «scala x/y» quello che corrisponda, e come «scala» la media geometrica delle lunghezze dei lati xy. Per esempio, se il pixel misura 6 micron in horizontale e 3 in verticale, si indicherà 2 in «Scala x/y» e un valore di 4.24 in «Scala».

Orientazione esterna

Sono i sei parametri di orientazione esterna di una camera.

Geometria dell'immagine

Comprende la focale, le coordinate del punto principale nel sistema fiduciale e la funzione di distorsione.

Il punto principale non si trova far i parametri da calibrare perché già sonno selezionati «Traslazione x» e «Traslazione y» nel primo insieme di parametri. Supponiamo però che la matrice di pixel misura 4000x3000 pixel e che vogliamo la situazione del punto principale nelle unità delle coordinate immagine (p. es. millimetri) rispetto dal centro della matrice. In tal caso non selezioneremmo i valori «Traslazione x» e «Traslazione y» per il calcolo, pure inicheremmo come valori conosciuti 2000 e 1500 rispettivamente, anzi i due parametri del punto principale entro «Geometria dell'immagine» si li selezioneremmo. In questo modo saremmo indicando che l'origine del sistema di coordinate immagine si trova nel punto (2000,1500) del sistema di misura, e che per pasare di queste a quello bisogna applicare, dopo la traslazione, un fattore di scala uguale al valore che abbiamo scrito in «Scala», per esempio 0,005. Se il valore che si ottiene per il punto principale nel calcolo è per esempio (0,052,-0,009), questo vale a dire che la situazione dell punto principale nel sistema delle coordinate immagine si trova nel punto (0,052,-0,009).

In definitiva, l'ordine di applicazione delle traslazione e il fattore di scala sin dal sistema di misura fino ad arrivare al punto principale è quello che vi si mostra:

Traslazioni x,y, Scala, Punto principale x, y

La funzione di distorsione si tratterà dettagliatamente più avanti.

Approssimato/Conosciuto

Se un parametro si seleziona per la compensazione si può opzionalmente indicare un valore approssimato. Nei parametri Ω e Φ è obbligatorio il valore approssimato iniziale. Anche nella focale, ma in questo caso se nessun numero è indicato il valore si prende del file.

Al contrario, se un parametro non si sta per calcolare, in tal caso deve avere un valore conosciuto, come è logico. In molti occasioni vogliamo che un parametro «non esista», e questo vuol dire che è conosciuto ma il suo valore è 0 (o 1). Per esempio, nella configurazione per difetto, tutti i parametri di passaggio dal sistema di misura al sistema fiduciale sono conosciuti e valgono 0 o 1 secondo il caso.

Colore delle textbox

Il colore delle textbox riflettano l'impossibilità, opzionalità o obbligatorietà di specificare un valore.


ObbligatorioOpzionaleNon permesso

Ogni parametro della finestra principale del programma ha due textbox: quella che corrisponde al valore conosciuto, se il parametro non si sta per calcolare, e quella del valore iniziale approssimato, nel caso che entri nella compensazione. In entrambi casi l'altra textbox è bloccata. Quando il parametro intervene nel calcolo, in alcuni occasioni è obbligatorio indicare un valore iniziale, ma nella maggioranza dei casi non.

1.6. Funzione di distorsione

Le distorsioni sono espresse in funzione delle coordinate polari dei punti: (θ,s), essendo s=r/rmas. Il valore di rmas è la semidiagonale del fotogramma.

Scomposizione

La funzione di distorsione si scompone in radiale simmetrica e altri distorsioni, e queste anche in radiale asimmetrica e tangenziale, a meno che si selezione il modello di affinità.

La distorsione radiale simmetrica è, per ogni distanza s, la distorsione radiale media dei punti (θ,s) per tutti i valori di θ.

La distorsione radiale asimmetrica è la distorsione radiale totale meno la componente simmetrica.

La distorsione tangenziale è un valore lineare t nella direzione perpendicolare al raggio, positiva se il punto de l'immagine si sposta in senso antiorario in relazione a la sua posizione teorica. Potrebbe dividersi anche in una componente simmetrica e altra asimmetrica. Infatti, l'utente può comprovare che in ogni modello esistono componenti che non dipendono di θ e componenti che si.

Diversi modelli

I modelli di Calibrazione si basano in funzioni ortogonali, per che i parametri siano indipendenti e ciascuno acquisa un significato. Si consiglia sempre il modello completo compensato. Il modello impari si mantiene solo per la tradizione di considerare polinomi impari. Anche si raccomanda che la condizione per definire la distorsione radiale simmetrica sia quella di ortogonalità. Su questa condizione, vedi Dipendenze tra parametri.

Le formule di ciascuno dei modelli si possono vedere cliccando nel testo che indica il numero di parametri: , etc., essendo selezionato il modello desiderato, oppure in aspetti tecnici.

1.7. Modus operandi

Ci sono certamente altre maniere possibile di operare; quella que vi si propone è una in concreto.

• Si misurano le immagine dei punti di coordinate conosciute, in pixel. Si prepara il file di fotogramma con le coordinate in pixel come si indica più sopra. La focale approssimata si indica in pixel. La coordinata x deve aumentare verso la destra; la y verso sopra.

• Nella finestra del programma si scrive, entro il gruppo Coordinate misurate --> coordinate immagine, nel textbox del valore conosciuto del parametro «Scala», il lato dei pixel. Per esempio, 0.008 (8.0 se vogliamo i risultati in micron al posto di millimetri). Si scrive anche il valore della semidiagonale della fotografia nel textbox corrispondente, nelle stesse unità in quale abbiamo indicato il lato dei pixel. Per esempio, 15 (15000 se siamo a lavorare in micron).

• Si calcola.

• Si mira se qualche punto ha un residuo così grande che significhi che è mal misurato. I reisdui si possono vedere numericamente nel file d'informazione e graficamente nel file di grafico. Dato che sono in pixel, un residuo molto grande può essere, per esempio, un residuo di 5 px. Se esiste tale punto si elimina, marcandolo con 00 nel file di fotogramma, e si torna a calcolare. Se hanno vari punti con un errore molto grande si possono eliminare tutti essi, ma entro un insieme di qualche punti prossimi con un errore grande si deve eliminare soltanto quello di residuo maggiore. Se sei in dubbio, elimina ad uno ad uno. Si ripete il proceso fin che non rimangano errori groseri.

I punti eliminati si misurano di nuovo e si tornano includere nel calcolo. Se non v'è la possibilità di re-misurare si lasciaranno eliminati.

• Prima di calibrare le distorsione conviene comprovare che la matrice di pixel non ha difetto di differenza di scala neanche di ortogonalità. Per ciò si seleziona, oltre i parametri per difetto, i parametri «Scale x/y» e «Angolo tra assi», nell'insieme Coordinate misurate --> coordinate immagine.

Si verifica nel file d'informazione la relazione tra il valore del parametro calcolato e la sua precisione, verso la fine di questo file, per ambedue parametri. Soltanto si deve mantener ogni parametro se il suo valore è almeno il doppio della precisione con la quale rimane calcolato il parametro. Se sei in dubbio non includirli in calcoli posteriori.

• Si realizano di seguito diverse provi selezionando uni e altri parametri. L'opzione più immediata è l'aggiunta del seguente parametro nella distorsione radiale simmetrica. Se realiza questa prova con i file di esempio vedrai che i residui diminuiscono in modo considerevole, como anche la deviazione standard a posteriori, e che il valore del parametro aggiunto, a4, è molto superiore alla precisione con che rimane calcolato: 0,0316 di fronte a 0,0031. Quando sia così si prova ad aggiungere un altro parametro, a5. Per i dati di esempio i resultati (dev. standard a posteriori) non migliorano con questo neanche il valore del parametro è superiore a quello della sua precisione, e dunque il parametro si rimuove del calcolo.

Si realizano provi similare per la distorione radiale simetrica e la distorsione tangenziale. Per i dati di esempio non si ottengono parametri significativi. I pari di parametri che si differenziano soltanto in sen/cos si devono selezionare in complesso.

• Se rimanevano dubbio per quanto riguarda l'inclusione di parametri di affinità per la matrice di pixel (scale x/y e angolo tra assi) si tornano a includere adesso, con i parametri di distorsione da calcolare già decisi e si confrontano i risultati includendo e senza includere i parametri. Se la migliora nella deviazione standard a posteriori è significativa si mantengono (può essere adeguato soltanto per uno dei due). In caso contrario si rimuoveno.

• Un buon valore di deviazione standard a posteriori per una calibrazione è presso 0,3 px.

2.  UTILITÀ

2.1. Salvare e aprire configurazioni

Tutte l'opzioni selezionate nella finestra del programma e tutti i valori indicati, ad eccezione dei nome dei file, si possono salvare in un file di configurazione, in File-->Salva configurazione, per aprirlo dopo.

Il programma include tre configurazioni: Coordinate immagine, Pixel / mm e Pixel / micron. L'unica differenza fra le due ultime è il simbolo delle unità del sistema fiduciale, per i file d'uscita.

3.  ASPETTI TECNICI

3.1. Dipendenze tra parametri

Fra tutti i parametri possibile esistono qualche che sono equivalenti, e allora non si possono includere simultaneamente nel calcolo. Esistono varie coppie o gruppi di parametri equivalenti. Quando si seleziona qualcun parametri per il calcolo incompatibile con qualcuno che era già selezionato il programma automaticamente elimina la selezione di questo ultimo.

I parammetri di passaggio da coordinate misurate a coordinate immagine (coord. fiduciali) sono un congiunto alternativo, per calibrare l'apparato di misura in vece della camera ovvero per spostare qualche parametri a unità pixel. Dunque, ciascuno di essi è equivalente a un parametro di orientazione.

Tx   ---->  Punto principale, x
Ty   ---->  Punto principale, y
giro   ---->  Orientazione esterna, K
scala ---->  focale

I parametri «scala x/y» e «angolo tra assi» sono equivalenti a distorsioni asimmetriche. Se il modello di «altri distorsioni» è un'affinità, i parametri sono equivalenti rispettivamente a α e β, in caso contrario ciascuno di essi ha relazione con un parametro della distorsione radiale asimmetrica e altro analogo della tangenziale.


Se il giro è diverso di zero le corrispondenze Tx<-->x e Ty<-->y si rompono. In questi casi (se è conosciuto e diverso di zero o se è sconosciuto), (x,y) del punto principale saranno ambedue conosciute o ambedue sconosciute.


La focale è equivalente al primo termine della distorsione radiale simmetrica (in ogni modello, è sempre lo stesso). Perciò, se si calcola la focale questo termine spare della distorsione radiale. Questa è la condizione di ortogonalità. Se si vuole che la funzione di distorsione compia qualsiasi altra condizione, una volta che il calcolo è finito si modifica il primo termine della d.r.s. in modo che compia la condizione, e dopo si varia la focale in senso opposto, in modo che ambedue variazioni si annullino.

Al aggiungere un termine a la distorsione, il suo valore quadratico medio aumenta (sempre), e perciò si raccomanda impiegare la condizione di ortogonalità.

e sono selezionati Ω e Φ, la cui selezione si fa nel complesso, dunque:

Se è selezionata la x del punto principale (o la sua equivalente Tx) non si può calcolare il termino s2cosθ della d.r. asimmetrica.

Se è selezionata la y del punto principale (o la sua equivalente Ty) non si può calcolare il termino s2senθ della d.r. asimmetrica.

3.2. Metodo di compensazione

La compensazione dell'orientazione/calibrazione si realizza mediante il metodo dei minimi quadrati.

3.3. Matrice di rotazione

La matrice di rotazione di un fotogramma in funzione dei giri Ω, Φ, e Κ è la seguente:

Questa è la matrice che passa dal sistema di coordinate immagine al sistema dei punti d'appoggio. La che permette la trasformazione inversa, che suole denotarsi da M, è la trasposta.

In questo schema si indica il criterio di segno dei giri.

3.4. Formulazione di ogni modello

La conoscenza delle formule che si mostrano di seguito non è necessario per applicare i parametri calcolati, perché il programma sviluppa i polinomi e raggruppa termini, e mostra ogni componente della funzione di distorsione come uno unico polinomio.

Radiale simmetrica

Modello impari


Modello completo


Modello completo compensato


Radiale asimmetrica / tangenziale

Modello impari




Modello completo




Modello completo compensato




Affinità


3.5. Relazione tra i parametri α e β dell'affinità e il rapporto di scala fra assi e l'angolo che formano

Il programma impiega la definizione precedente dell'affinità sia per la distorsione, sia per i parametri dell'affinità del passaggio da coordinate misurate a coordinate immagine. Ciò nonostante in questo ultimo caso, nella entrata come nell'uscita si prendono come parametri il rapporto di scale tra gli assi e la deviazione a 90º dell'angolo che formano. La relazione entrambi i due è la seguente:

Da parametri interni a parametri d'utente:





Da parametri d'utente a parametri interni:





Allo stesso modo che con le formule dei modelli di distorsione, non è necessario conoscerli dato che il programma, oltre ai parametri K e E, fornisce anche la matrice di passaggio da coordinate misurate a coordinate immagine.